geometria & trigonometria: ÁNGULOS

¿Que es un ángulo?

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Tipo Descripción

Ángulo nulo Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a $\frac{\pi}{2}$ rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100^g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a $\frac{\pi}{2}$ rad y menor a $\pi\,$ rad Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^g centesimales).

Ángulo llano, extendido o colineal El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200^g centesimales).

Ángulo completo
o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi\,$ rad Equivalente a 360° sexagesimales (o 400^g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):

Tipo Descripción

Ángulo convexo
o saliente Es el que mide menos de $\pi\,$ rad. Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0^g y menos de 200^g centesimales).

Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante Es el que mide más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200^g y menos de 400^g centesimales).

Ángulos relacionados
En función de su posición, se denominan:
ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,

ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,

ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

En función de su amplitud, se denominan:
ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,

ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,

ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,

ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Ángulos de un polígono
En función de su posición, se denominan:
ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,

ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
Trisección del ángulo
Artículo principal: Trisección del ángulo
La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. Es imposible de resolver con esas condiciones.
Ángulos tridimensionales
El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,

El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales
Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en el espacio vectorial
Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por la expresión:

$\cos \theta_{xy} = \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\|}$
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales.
Galería de ángulos

$0^{\circ} \,$ $15^{\circ} \,$ $30^{\circ} \,$ $45^{\circ} \,$ $60^{\circ} \,$ $75^{\circ} \,$

$90^{\circ} \,$ $105^{\circ} \,$ $120^{\circ} \,$ $135^{\circ} \,$ $150^{\circ} \,$ $165^{\circ} \,$

$180^{\circ} \,$ $195^{\circ} \,$ $210^{\circ} \,$ $225^{\circ} \,$ $240^{\circ} \,$ $255^{\circ} \,$

$270^{\circ} \,$ $285^{\circ} \,$ $300^{\circ} \,$ $315^{\circ} \,$ $330^{\circ} \,$ $345^{\circ} \,$ $360^{\circ} \,$

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a $\frac{\pi}{2}$ rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100^g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a $\frac{\pi}{2}$ rad y menor a $\pi\,$ rad Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200^g centesimales).
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi\,$ rad Equivalente a 360° sexagesimales (o 400^g centesimales).

Tipo	Descripción
Ángulo convexo o saliente	Es el que mide menos de $\pi\,$ rad. Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo cóncavo, reflejo o entrante	Es el que mide más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200^g y menos de 400^g centesimales).


$0^{\circ} \,$	$15^{\circ} \,$	$30^{\circ} \,$	$45^{\circ} \,$	$60^{\circ} \,$	$75^{\circ} \,$

$90^{\circ} \,$	$105^{\circ} \,$	$120^{\circ} \,$	$135^{\circ} \,$	$150^{\circ} \,$	$165^{\circ} \,$

$180^{\circ} \,$	$195^{\circ} \,$	$210^{\circ} \,$	$225^{\circ} \,$	$240^{\circ} \,$	$255^{\circ} \,$

$270^{\circ} \,$	$285^{\circ} \,$	$300^{\circ} \,$	$315^{\circ} \,$	$330^{\circ} \,$	$345^{\circ} \,$	$360^{\circ} \,$